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\lhead{ COURS MPSI}\chead{ \LARGE {B 3 III.  DERIVATION Niveau 2}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\bigskip V) COMPL\'{E}MENTS SUR LA D\'{E}RIVATION.

\qquad 1) D\'{e}finitions.

DEF : soit $x_{0}$ un point tel que $f$ soit d\'{e}finie \textit{au voisinage%
} de $x_{0}$ ; on dit que $f$ est \textit{d\'{e}rivable} en $x_{0}$ si le
taux d'accroissement de $f$ entre $x_{0}$ et $x$ tend vers une limite finie
quand $x$ tend vers $x_{0}.$

\bigskip

PROP : cette d\'{e}finition peut se mettre sous les diverses formes, \`{A}
BIEN CONNA\^{I}TRE : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
1. $\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }$ $\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
existe et $\in \mathbb{R}$ & 1 bis. $\underset{u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{%
f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{u}$ existe et $\in \mathbb{R}$ \\ \hline
2. $\exists a\in \mathbb{R\;\;}\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=a+\underset{%
x\rightarrow x_{0}}{o}\left( 1\right) $ & $2$ bis. $\exists a\in \mathbb{%
R\;\;}\dfrac{f(x_{0}+u)-f(x_{0})}{u}=a+\underset{u\rightarrow 0}{o}\left(
1\right) $ \\ \hline
3. $\exists a\in \mathbb{R\;\;}f(x)=f(x_{0})+a\left( x-x_{0}\right) +%
\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}\left( x-x_{0}\right) $ & $3$ bis. $\exists
a\in \mathbb{R\;\;}$\fbox{$f\left( x_{0}+u\right) =f(x_{0})+au+\underset{%
u\rightarrow 0}{o}\left( u\right) $} \\ \hline
& 4 bis. $\left\{ 
\begin{array}{c}
\exists a\in \mathbb{R}^{\ast }\mathbb{\;\;}\fbox{$f\left( x_{0}+u\right)
-f(x_{0})\underset{u\rightarrow 0}{\sim }au$} \\ 
\text{ou }f\left( x_{0}+u\right) -f(x_{0})=\underset{u\rightarrow 0}{o}%
\left( u\right)%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\newline

\bigskip

\bigskip

\qquad 2) Propri\'{e}t\'{e}s.

\bigskip D\'{e}monstration de la d\'{e}rivabilit\'{e} de la compos\'{e}e:

RAPPEL : Si $f$ est d\'{e}rivable en $x$ et $g$ d\'{e}rivable en $f\left(
x\right) $ alors $g\circ f$ est d\'{e}rivable en $x$ et 
\begin{equation*}
\fbox{$\left( g\circ f\right) ^{\prime }\left( x\right) =g^{\prime }\left(
f(x)\right) f^{\prime }\left( x\right) $}
\end{equation*}

\bigskip D1

\bigskip 3) Limites, continuit\'{e} des fonctions monotones, continuit\'{e}
et d\'{e}rivabilit\'{e} des fonctions r\'{e}ciproques.\bigskip

\qquad a) Th\'{e}or\`{e}me de la limite monotone.

\bigskip

TH\ 1 : soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ monotone sur
un ensemble $I,$ $x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}$ dont tout voisinage strict$%
\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{\`{a} gauche} \\ 
\text{\`{a} droite}%
\end{array}%
\right. $ rencontre $I$ ; alors $f$ poss\`{e}de une limite (finie ou
infinie) stricte $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{\`{a} gauche} \\ 
\text{\`{a} droite}%
\end{array}%
\right. $ en $x_{0}$ et 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
si $f$ est croissante, $\underset{x\overset{<}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }%
f\left( x\right) =\underset{\underset{x<x_{0}}{x\in I}}{\sup }f\left(
x\right) \ $et $\underset{x\overset{>}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left(
x\right) =\underset{\underset{x>x_{0}}{x\in I}}{\inf }f\left( x\right) $ \\ 
\hline
si $f$ est d\'{e}croissante, $\underset{x\overset{<}{\rightarrow }x_{0}}{%
\lim }f\left( x\right) =\underset{\underset{x<x_{0}}{x\in I}}{\inf }f\left(
x\right) \ $et $\underset{x\overset{>}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left(
x\right) =\underset{\underset{x>x_{0}}{x\in I}}{\sup }f\left( x\right) $ \\ 
\hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D2

Exemple : si $f$ est monotone sur $\left] 0,+\infty \right[ ,$ on sait gr%
\^{a}ce \`{a} ce th\'{e}or\`{e}me que $f$ admet une limite stricte \`{a}
droite en $0,$ une limite stricte \`{a} droite et \`{a} gauche en tout point 
$>0$ et une limite en $+\infty .$

\bigskip

\bigskip \qquad b) Th\'{e}or\`{e}me de continuit\'{e} d'une fonction
monotone.

TH 2 : Une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ \bigskip d\'{e}%
finie et \textbf{monotone} sur un ensemble $I$ tel que $f\left( I\right) $
soit un \textbf{intervalle,} est continue sur $I.$

REM : Bien voir que ce th\'{e}or\`{e}me devient faux si l'on \^{o}te l'une
des 2 hypoth\`{e}ses en gras.

D3

\bigskip D\'{e}monstration :

Hypoth\`{e}ses$\left\{ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f$ est croissante sur $I$ (preuve similaire pour $f$ d\'{e}croissante) \\ 
\hline
$J=f\left( I\right) $ est un intervalle \\ \hline
\end{tabular}%
\ \right. $

\bigskip

Soit $x_{0}\in I$ dont tout voisinage strict \`{a} gauche rencontre $I$ ;
d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de la limite monotone 
\begin{equation*}
l=\underset{\underset{x<x_{0}}{x\in I}}{\sup }f\left( x\right) =\underset{x%
\overset{<}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f\left( x\right)
\end{equation*}

Remarquons que $l\in J$ puisqu'il est sup\'{e}rieur \`{a} au moins un \'{e}l%
\'{e}ment de $J$ et inf\'{e}rieur \`{a} $f(x_{0})\in J$ car $f$ est
croissante.

Si $l$ \'{e}tait strictement inf\'{e}rieur \`{a} $f\left( x_{0}\right) ,$
aucun \'{e}l\'{e}ment de $\left] l,f\left( x_{0}\right) \right[ $ n'aurait
d'ant\'{e}c\'{e}dent par $f,$ ce qui contredirait le fait que $J$ est un
intervalle.

Donc $f\left( x_{0}\right) =\underset{x\overset{<}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }%
f\left( x\right) $ et $f_{|I}$ est continue \`{a} gauche en $x_{0}$ ; on proc%
\`{e}de de m\^{e}me \`{a} droite : $f$ est donc continue sur $I.$

\bigskip

\qquad c) Application aux fonctions r\'{e}ciproques.

TH 3 Continuit\'{e} d'une fonction r\'{e}ciproque.

\bigskip

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ \textbf{continue} et
\bigskip injective sur un \textbf{intervalle} $I$ et soit $f^{-1}$ sa
fonction r\'{e}ciproque sur $I,$ d\'{e}finie sur $J=f\left( I\right) $ ;
alors 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1. $f$ et $f^{-1}$ sont strictement monotones de m\^{e}mes sens \\ \hline
2. $f^{-1}$ est continue sur $J$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D4

\qquad d) D\'{e}rivabilit\'{e} d'une fonction r\'{e}ciproque :

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ \textbf{d\'{e}rivable%
} et \bigskip injective sur un \textbf{intervalle} $I$ et soit $f^{-1}$ sa
fonction r\'{e}ciproque sur $I,$ d\'{e}finie sur $J=f\left( I\right) $ ;
alors 
\begin{equation*}
f^{-1}\text{ est d\'{e}rivable en tout point }y\text{ de }J\text{ tel que }%
f^{\prime }\left( f^{-1}\left( y\right) \right) \neq 0\text{ et }\left(
f^{-1}\right) ^{\prime }\left( y\right) =\frac{1}{f^{\prime }\left(
f^{-1}\left( y\right) \right) }
\end{equation*}

Si $f^{\prime }\left( f^{-1}\left( y\right) \right) =0,$ la tangente \`{a}
la courbe de $f^{-1}$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $y.$

\bigskip

D5\bigskip

\qquad

\qquad 4) D\'{e}riv\'{e}es successives.

\qquad \qquad a) D\'{e}finitions.

\bigskip DEF : on dit que $f$ est (\textit{de classe)} $\mathcal{D}^{0}$ en $%
x$ si $f$ est d\'{e}finie en $x$ , et, par convention, $f^{\left( 0\right) }=%
\mathcal{D}^{0}\left( f\right) =f\;$;

pour $n\geqslant 1,$ on dit que 
\begin{equation*}
f\text{ est (\textit{de classe)} }\mathcal{D}^{n}\text{ en }x\text{ (ou que }%
f\text{ est }n\text{\textit{\ fois d\'{e}rivable} en }x)\text{ si }\left\{ 
\begin{array}{l}
1.\;f\text{ est de classe }\mathcal{D}^{n-1}\text{ en tout point d'un
voisinage de }x \\ 
\text{ 2. }f^{(n-1)}\text{ est d\'{e}rivable en }x%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

la d\'{e}riv\'{e}e $n$-i\`{e}me est alors par d\'{e}finition la d\'{e}riv%
\'{e}e de la d\'{e}riv\'{e}e $n-1$-i\`{e}me : 
\begin{equation*}
f^{\left( n\right) }=\left( f^{\left( n-1\right) }\right) ^{\prime }\text{
(ou }D^{n}\left( f\right) =D\left( D^{n-1}\left( f\right) \right)
\end{equation*}

Notation de Leibniz : si $y=f\left( x\right) ,\;\fbox{$f^{\left( n\right)
}\left( x\right) =\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}$}.$

On dit que $f$ est (\textit{de classe)} $\mathcal{C}^{\infty }$ en $x$ (ou
qu'elle est\textit{\ infiniment d\'{e}rivable} en $x)$ si elle est de classe 
$\mathcal{D}^{n}$ pour tout $n.$

On dit que $f$ est (\textit{de classe) }$\mathcal{C}^{n}$ en $x$ si elle est
de classe $\mathcal{D}^{n}$ sur un voisinage de $x$ et si $f^{\left(
n\right) }$ est continue en $x.$

\bigskip

Par cons\'{e}quent : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$f$ est ... en $x$ & signifie que \\ \hline
$\mathcal{D}^{0}$ & $f$ est d\'{e}finie en $x$ \\ \hline
$\mathcal{C}^{0}$ & $f$ est continue en $x$ \\ \hline
$\mathcal{D}^{1}$ & $f$ est d\'{e}rivable en $x$ \\ \hline
$\mathcal{C}^{1}\,$(ou $f$ est contin\^{u}ment d\'{e}rivable en $x)$ & $f$
est d\'{e}rivable au voisinage de $x$ et $f^{\prime }$ est continue en $x$
\\ \hline
$\mathcal{D}^{2}$ & $f$ est d\'{e}rivable au voisinage de $x$ et $f^{\prime
} $ est d\'{e}rivable en $x$ \\ \hline
$\mathcal{C}^{2}$ & $f$ est de classe $\mathcal{D}^{2}$ au voisinage de $x$
et $f^{\prime \prime }$ est continue en $x$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\bigskip Exemple : la fonction $f:\left\{ 
\begin{array}{l}
x\neq 0\longmapsto \dfrac{1-\cos (x)}{x} \\ 
0\longmapsto 0%
\end{array}%
\right. $ est de classe C$^{1}$ sur $\mathbb{R}.$

PROP\ :

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1.\;\mathcal{C}^{\infty }\Rightarrow ...\Rightarrow \mathcal{C}%
^{n}\Rightarrow \mathcal{D}^{n}\Rightarrow ...\Rightarrow \mathcal{C}%
^{1}\Rightarrow \mathcal{D}^{1}\Rightarrow \mathcal{C}^{0}\Rightarrow 
\mathcal{D}^{0}$ \\ \hline
$2.\;\text{Toutes les r\'{e}ciproques aux implications ci-dessus sont fausses%
}$ \\ \hline
$3.\,\left( f^{\left( n\right) }\right) ^{\left( m\right) }=f^{\left(
n+m\right) }=\left( f^{\left( m\right) }\right) ^{\left( n\right) }\text{
(autrement dit : }D^{n}\circ D^{m}=D^{n+m})$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D6

\bigskip

E$1$ : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$D^{n}\left( x\mapsto x^{\alpha }\right) =\left( x\mapsto \alpha ^{%
\underline{n}}\ x^{\alpha -n}\right) $ avec $\alpha ^{\underline{n}}=\alpha
\left( \alpha -1\right) ..\left( \alpha -n+1\right) $ \\ \hline
$D^{k}\left( x\mapsto x^{n}\right) =\left( x\mapsto n^{\underline{k}}\
x^{n-k}\right) $ avec $n^{\underline{k}}=n\left( n-1\right) ..\left(
n-k+1\right) =k!\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) =\left\{ 
\begin{array}{l}
\dfrac{n!}{\left( n-k\right) !}\text{ si }k\leqslant n \\ 
0\text{ si }k>n%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\exp ^{\left( n\right) }=\exp $ \\ \hline
$\cos ^{\left( n\right) }\left( x\right) =$ \\ \hline
$\sin ^{\left( n\right) }\left( x\right) =$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\qquad \qquad b) Op\'{e}rations sur les d\'{e}riv\'{e}es successives.

\bigskip

P1 : si $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^{n}$ ($n\in \overline{\mathbb{N}})$ en $%
x$ alors $f+g$ aussi et\ pour $n$ fini, $\left( f+g\right) ^{\left( n\right)
}=f^{\left( n\right) }+g^{\left( n\right) }.$

\bigskip

P2 : si $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^{n}$ en $x$ alors $fg$ aussi et on a la
formule, dite de Leibniz : 
\begin{equation*}
\left( fg\right) ^{\left( n\right) }=f^{\left( n\right) }g+nf^{\left(
n-1\right) }g^{\prime }+....+\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) f^{\left( n-k\right) }g^{\left( k\right) }+....+nf^{\prime
}g^{\left( n-1\right) }+fg^{\left( n\right) }=\fbox{$\underset{k=0}{\overset{%
n}{\sum }}\left( 
\begin{array}{c}
n \\ 
k%
\end{array}%
\right) f^{\left( n-k\right) }g^{\left( k\right) }$}
\end{equation*}

En particulier : $\left( \lambda f\right) ^{\left( n\right) }=\lambda
f^{\left( n\right) }$

D7

E2

\bigskip

P3 : si $f$ est $\mathcal{C}^{n}$ en $x$ avec $f(x)\neq 0,$ $\dfrac{1}{f}$
est $\mathcal{C}^{n}$ en $x.$

D8

\bigskip

On en d\'{e}duit que si $g(x)\neq 0$ et $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^{n}$ en 
$x$ alors $\dfrac{f}{g}$ aussi.

P4 : si $f$ est $\mathcal{C}^{n}$ en $x$ et $g$ est $\mathcal{C}^{n}$ en $%
f\left( x\right) $ alors $g\circ f$ est $\mathcal{C}^{n}$ en $x$.

D9

\bigskip

\bigskip

P5 : fonction r\'{e}ciproque d'une fonction de classe $C^{n}$ :

\bigskip On suppose que $f$ est injective, de classe $C^{n}$ sur un
intervalle $I$ \ et que $f^{\prime }$ n'est jamais nulle sur $I$ ; alors 
\begin{equation*}
f^{-1}\text{ est de classe }C^{n}\text{ sur }J=f\left( I\right) .
\end{equation*}

D10

\qquad \qquad c) Anneau et espace vectoriel des fonctions de classe $%
\mathcal{C}^{n}.$

\bigskip

NOTATION\ : pour $I$ intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ et $n\in 
\overline{\mathbb{N}}$ on pose 
\begin{equation*}
\mathcal{C}^{n}\left( I,\mathbb{R}\right) =\{f\in \mathbb{R}^{I}\;/\;f\text{
est de classe }\mathcal{C}^{n}\text{ en tout point de }I\}
\end{equation*}

REM : on d\'{e}finit ainsi une infinit\'{e} d'ensembles strictement embo%
\^{\i}t\'{e}s les uns dans les autres :

\begin{equation*}
\mathcal{P}_{n}\left( I,\mathbb{R}\right) \subset \mathcal{P}\left( I,%
\mathbb{R}\right) \subset \mathcal{C}^{\infty }\left( I,\mathbb{R}\right)
\subset ...\subset \mathcal{C}^{n}\left( I,\mathbb{R}\right) \subset
...\subset \mathcal{C}^{1}\left( I,\mathbb{R}\right) \subset \mathcal{C}%
^{0}\left( I,\mathbb{R}\right) =\mathcal{C}\left( I,\mathbb{R}\right)
\subset \mathbb{R}^{I}
\end{equation*}

PROP : munis de l'addition et de la multiplication interne des fonctions,
ces ensembles (sauf $\mathcal{P}_{n}\left( I,\mathbb{R}\right) )$ sont des 
\textit{sous-anneaux }de $\mathbb{R}^{I},$ et munis de l'addition et de la
multiplication externe, c'en sont des \textit{sous-espaces vectoriels}.

Except\'{e} $\mathcal{P}\left( I,\mathbb{R}\right) $, ces anneaux sont non
int\`{e}gres.

D11

\bigskip

REM : si $I$ est un intervalle ferm\'{e} ou semi-ouvert, on d\'{e}finit
aussi $\mathcal{C}^{n}\left( I,\mathbb{R}\right) ,$ avec des d\'{e}riv\'{e}%
es \`{a} droite \`{a} la borne de gauche, et des d\'{e}riv\'{e}es \`{a}
gauche \`{a} la borne de droite.

\bigskip

5) TH\'{E}OR\`{E}MES DE ROLLE ET DES ACCROISSEMENTS FINIS.

\qquad a) Extremums d'une fonction d\'{e}rivable.

\bigskip

DEF : soit $x_{0}$ un \'{e}l\'{e}ment de $D_{f}$ ;

\qquad on dit que $f$ pr\'{e}sente (ou poss\`{e}de) un $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{\textit{maximum absolu}} \\ 
\text{\textit{minimum absolu}}%
\end{array}
\right. $ en $x_{0}$ si 
\begin{equation*}
\forall x\in D_{f}\;\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x)\leqslant f\left( x_{0}\right) \\ 
f(x)\geqslant f\left( x_{0}\right)%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

\qquad on dit que $f$ pr\'{e}sente (ou poss\`{e}de) un $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{\textit{maximum (local)}} \\ 
\text{\textit{minimum (local)}}%
\end{array}
\right. $ en $x_{0}$ s'il existe un voisinage $V$ de $x_{0}$ tel que la
restriction de $f$ \`{a} $V$ poss\`{e}de un$\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{maximum absolu} \\ 
\text{minimum absolu}%
\end{array}
\right. $ en $x_{0}$ ; autrement dit, 
\begin{equation*}
\exists \alpha >0\;\forall x\in D_{f}\cap \left] x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha %
\right[ \;\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x)\leqslant f\left( x_{0}\right) \\ 
f(x)\geqslant f\left( x_{0}\right)%
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Un \textit{extremum} est un maximum ou un minimum.

E3

\bigskip

TH : si $f$ est d\'{e}rivable en $x_{0}$, l'existence d'un extremum local en 
$x_{0}$ entra\^{\i}ne la nullit\'{e} de la d\'{e}riv\'{e}e de $f$ en $x_{0},$
mais la r\'{e}ciproque est fausse.

\bigskip D12

ATTENTION : ce r\'{e}sultat est faux si l'on suppose seulement que $f$ est d%
\'{e}rivable \`{a} droite, ou \`{a} gauche, en $x_{0}.$

E 4

\bigskip

\qquad b) Th\'{e}or\`{e}me de Rolle (Michel Rolle, 1652 - 1719).

\bigskip \qquad \qquad $\alpha $) \'{E}nonc\'{e} du th\'{e}or\`{e}me.

TH de Rolle (corollaire du th\'{e}or\`{e}me de Weierstrass et du th\'{e}or%
\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent) : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
a\neq b \\ 
f\;\text{est continue sur }[a,b] \\ 
f\;\text{est d\'{e}rivable sur }]a,b[ \\ 
f\left( a\right) =f\left( b\right)%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\exists c\in ]a,b[\;/$\ $f^{\prime
}\left( c\right) =0$}}
\end{equation*}

D13

\bigskip

REMARQUE\ 1 : Ce th\'{e}or\`{e}me s'\'{e}nonce de fa\c{c}on g\'{e}om\'{e}%
trique sous la forme l\'{e}g\`{e}rement affaiblie suivante : 
\begin{equation*}
\fbox{%
\begin{tabular}{l}
Si une courbe de fonction d\'{e}rivable sur un intervalle poss\`{e}de une s%
\'{e}cante horizontale, \\ 
alors elle poss\`{e}de aussi une tangente horizontale.%
\end{tabular}
}
\end{equation*}

REMARQUE\ 2 : les hypoth\`{e}se de ce th\'{e}or\`{e}me sont \`{a} bien conna%
\^{\i}tre ; si l'on supprime l'une d'entre-elles, le ''th\'{e}or\`{e}me''
devient faux.

D14

\bigskip

REMARQUE 3 : on verra en exercice que ce th\'{e}or\`{e}me est faux pour des
fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$.

\bigskip

\qquad \qquad $\beta $) Applications.\bigskip

A1 : si $f$ est d\'{e}rivable sur un \textit{intervalle} $I$ et y poss\`{e}%
de deux racines distinctes (i.e. deux solutions de l'\'{e}quation $f\left(
x\right) =0)$ alors $f^{\prime }$ poss\`{e}de au moins une racine sur $I.$

D15

\bigskip

A2 : si $f$ est $n$ fois d\'{e}rivable sur un \textit{intervalle} $I$ et y
poss\`{e}de $n+1$ racines distinctes alors $f^{\left( n\right) }$ poss\`{e}%
de au moins une racine sur $I.$

D16

\bigskip

A3 : montrer que le polyn\^{o}me $L_{n}=D^{n}\left( \left( X^{2}-1\right)
^{n}\right) $ \ ($n$-i\`{e}me polyn\^{o}me de Legendre) est scind\'{e} sur $%
\mathbb{R}$.

D17

c) Th\'{e}or\`{e}me des accroissements finis.

\bigskip

\qquad $\alpha $) \'{E}nonc\'{e} du th\'{e}or\`{e}me.

TH des accroissements finis (corollaire du th\'{e}or\`{e}me de Rolle), abr%
\'{e}g\'{e} en TAF : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
a\neq b \\ 
f\;\text{est continue sur }[a,b] \\ 
f\;\text{est d\'{e}rivable sur }]a,b[%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\exists c\in ]a,b[\;/ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\ $f^{\prime }\left( c\right) =t_{f}\left( a,b\right) =\dfrac{f\left(
b\right) -f\left( a\right) }{b-a}$ \\ \hline
soit $f\left( b\right) =f\left( a\right) +\left( b-a\right) f^{\prime
}\left( c\right) $ \\ \hline
\end{tabular}
$}}
\end{equation*}

D18

\bigskip

REMARQUE 1 : ce th\'{e}or\`{e}me n'est autre qu'une version
\textquotedblright oblique\textquotedblright\ du th\'{e}or\`{e}me de Rolle ;
il s'\'{e}nonce en effet de fa\c{c}on g\'{e}om\'{e}trique sous la forme l%
\'{e}g\`{e}rement affaiblie suivante : 
\begin{equation*}
\fbox{Toute s\'{e}cante d'une courbe de fonction d\'{e}rivable sur un
intervalle est parall\`{e}le \`{a} l'une des tangentes.}
\end{equation*}

REMARQUE\ 2 : La formule 
\begin{equation*}
f^{\prime }\left( c\right) =\dfrac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}
\end{equation*}

s'appelle ''formule des accroissements finis'', par opposition \`{a} la d%
\'{e}finition de la d\'{e}riv\'{e}e 
\begin{equation*}
f^{\prime }\left( x\right) =\underset{x^{\prime }\rightarrow x}{\lim }\dfrac{%
f(x^{\prime })-f(x)}{x^{\prime }-x}=\dfrac{dy}{dx}
\end{equation*}

faisant intervenir des accroissements ''infinit\'{e}simaux''.

\bigskip

REMARQUE 3 : on peut \'{e}noncer le TAF sous la forme \'{e}quivalente
suivante :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
u\neq 0 \\ 
f\;\text{est continue sur }[x_{0},x_{0}+u] \\ 
f\;\text{est d\'{e}rivable sur }]x_{0},x_{0}+u[%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\exists \theta \in
]0,1[\;/\;f\left( x_{0}+u\right) =f\left( x_{0}\right) +uf^{\prime }\left(
x_{0}+\theta u\right) $}}
\end{equation*}

D19

Il faut alors bien prendre garde que le nombre $\theta $ ainsi d\'{e}fini d%
\'{e}pend de $u$ (et de $x_{0}$ !)

\bigskip

REMARQUE 4 : sous une forme affaiblie, on peut aussi \'{e}noncer : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :\ $f$ est d\'{e}rivable sur un intervalle $I$}\;\;\text{%
alors\ \ \fbox{(C) : $\forall x,y\in I\;\;\exists z\in \lbrack
x,y]\;/\;f\left( y\right) -f\left( x\right) =f^{\prime }\left( z\right)
\left( y-x\right) $}}
\end{equation*}

Il faut ici aussi bien prendre conscience que $z$ d\'{e}pend de $x$ et $y.$

\bigskip E5

\bigskip

\qquad $\beta $) In\'{e}galit\'{e}s des accroissements finis.

\bigskip

TH $:$ si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $[a,b],$ alors 
\begin{eqnarray*}
&&\fbox{si $a\leqslant b\;\;\;\left( b-a\right) \underset{[a,b]}{\min }%
f^{\prime }\leqslant f\left( b\right) -f\left( a\right) \leqslant \left(
b-a\right) \underset{[a,b]}{\max }f^{\prime }$}\text{ (in\'{e}galit\'{e} des
accroissements finis, version \textquotedblright
encadrement\textquotedblright )} \\
&&\fbox{$\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \leqslant
\left\vert b-a\right\vert \underset{[a,b]}{\max }\left\vert f^{\prime
}\right\vert $}\;\text{(in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis, version
\textquotedblright valeurs absolues\textquotedblright )}
\end{eqnarray*}

D20

\bigskip

Remarque : ce th\'{e}or\`{e}me est exactement \'{e}quivalent au suivant :

TH $:$ si $f$ est continue sur $[a,b],$ alors 
\begin{eqnarray*}
&&\fbox{si $a\leqslant b\;\;\;\;\left( b-a\right) \underset{[a,b]}{\min }%
f\leqslant \dint_{a}^{b}f\left( x\right) dx\leqslant \left( b-a\right) 
\underset{[a,b]}{\max }f$}\text{ } \\
&&\fbox{$\left| \dint_{a}^{b}f\left( x\right) dx\right| \leqslant \left|
b-a\right| \underset{[a,b]}{\max }\left| f\right| $}\;
\end{eqnarray*}

Dont les in\'{e}galit\'{e}s prennent alors le nom ''d'in\'{e}galit\'{e}s de
la moyenne''.

D21

\bigskip

\qquad d) Applications du th\'{e}or\`{e}me des accroissements finis.

\bigskip

Le th\'{e}or\`{e}me des accroissements finis permet d\'{e}duire de certaines
propri\'{e}t\'{e}s de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime },$ des propri\'{e}t\'{e}%
s de la fonction $f.$

Dans ce paragraphe, la notation $\overset{\circ }{I}$ pour un intervalle $I$
d\'{e}signe l'intervalle priv\'{e} de ses bornes ($\overset{\circ }{I}=]\inf
I,\sup I[)$

\qquad \qquad $\alpha $) Relations entre le signe de la d\'{e}riv\'{e}e et
le sens de variation.

\qquad \qquad \qquad $\alpha 1)$ Monotonie large.

\bigskip

TH : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est continue sur un intervalle }I \\ 
f\;\text{est d\'{e}rivable sur }\overset{\circ }{I}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f$ est $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{croissante} \\ 
\text{d\'{e}croissante}%
\end{array}
\right. $ sur $I$ $\Leftrightarrow \forall x\in \overset{\circ }{I}%
\;\;f^{\prime }\left( x\right) \left\{ 
\begin{array}{c}
\geqslant 0 \\ 
\leqslant 0%
\end{array}
\right. $}}
\end{equation*}

D 22

\bigskip

En simplifiant, on peut dire qu'une fonction d\'{e}rivable est monotone sur
un intervalle si et seulement si sa d\'{e}riv\'{e}e y est de signe constant.

\bigskip

CORO\ : 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est continue sur un intervalle }I \\ 
f\;\text{est d\'{e}rivable sur }\overset{\circ }{I}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f$ est constante sur $I$ $%
\Leftrightarrow \forall x\in \overset{\circ }{I}\;\;f^{\prime }\left(
x\right) =0$}}
\end{equation*}

\bigskip

ATTENTION : pour ces th\'{e}or\`{e}mes, le fait que $I$ soit un intervalle
est primordial ; par exemple la fonction signe est de d\'{e}riv\'{e}e nulle
sur $\mathbb{R}^{\ast }$ et pourtant, elle n'est pas constante sur $\mathbb{R%
}^{\ast }$, et la fonction \textquotedblright inverse\textquotedblright\ est
de d\'{e}riv\'{e}e n\'{e}gative sur $\mathbb{R}^{\ast }$ et pourtant, elle
n'y est pas monotone.

\bigskip CORO du CORO : deux fonctions ayant des d\'{e}riv\'{e}es \'{e}gales
sur un intervalle diff\`{e}rent d'une constante sur cet intervalle.

\bigskip

\qquad \qquad \qquad $\alpha 2)$ Monotonie stricte.

\bigskip

Premi\`{e}re remarque : une fonction strictement croissante et d\'{e}%
rivable, peut avoir une d\'{e}riv\'{e}e qui s'annule.

E5

\bigskip

PROP : une fonction est strictement $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{croissante} \\ 
\text{d\'{e}croissante}%
\end{array}
\right. $ sur un intervalle $I$ si et seulement si 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1.\text{ Elle y est }\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{croissante} \\ 
\text{d\'{e}croissante}%
\end{array}
\right. \text{.}$ \\ \hline
$2.\;\text{Elle n'est constante sur aucun intervalle }[a,b],a<b\text{ inclus
dans }I$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D23

\bigskip

COROLLAIRE : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, d\'{e}rivable sur $%
\overset{\circ }{I}$ , elle est strictement $\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{croissante} \\ 
\text{d\'{e}croissante}%
\end{array}
\right. $ sur $I$ si et seulement si

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$1.$ $\forall x\in \overset{\circ }{I}\;\;\;f^{\prime }\left( x\right)
\left\{ 
\begin{array}{c}
\geqslant 0 \\ 
\leqslant 0%
\end{array}
\right. $ \\ \hline
$2.\;$L'ensemble des points de $\overset{\circ }{I}$ o\`{u} $f^{\prime }$
s'annule ne contient a$\text{ucun intervalle }[a,b],a<b$. \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D24

\bigskip

REMARQUE 1 : la condition 2. peut aussi s'\'{e}noncer sous la forme :

\begin{equation*}
\text{2 bis. Entre deux \'{e}l\'{e}ments (distincts) de }\overset{\circ }{I}%
,\;\text{il existe toujours au moins un \'{e}l\'{e}ment }x\;\text{tel que }%
f^{\prime }\left( x\right) \left\{ 
\begin{array}{c}
>0 \\ 
<0%
\end{array}
\right. .
\end{equation*}

REMARQUE 2 : une partie de $\mathbb{R}$ ne contenant pas d'intervalle $%
[a,b],a<b,$ est dite ''d'int\'{e}rieur vide'' ; la condition 2. peut donc
aussi s'\'{e}noncer : 
\begin{equation*}
\fbox{2.\ $\left\{ x\in \overset{\circ }{I}\;/\;f^{\prime }\left( x\right)
=0\right\} $ est d'int\'{e}rieur vide}
\end{equation*}

\bigskip

REMARQUE 3 : en pratique l'ensemble des points o\`{u} $f^{\prime }$ s'annule
est presque toujours fini, donc v\'{e}rifie la condition 2.

\bigskip

On peut cependant trouver des fonctions strictement monotones telles que cet
ensemble est infini, voire m\^{e}me \'{e}gal \`{a} $\mathbb{Q}$ !

E6

\bigskip

\qquad $\beta $) Caract\'{e}risation des fonctions lipschitziennes parmi les
fonctions d\'{e}rivables.

\bigskip

PROP : Si $f$ est continue sur un intervalle $I$, d\'{e}rivable sur $\overset%
{\circ }{I}$ et $K>0,\;f$ est $K$-\textit{lipschitzienne} sur $I$ si et
seulement si 
\begin{equation*}
\fbox{$\forall x\in \overset{\circ }{I}\;\;\left| f^{\prime }\left( x\right)
\right| \leqslant K$}
\end{equation*}
Un fonction d\'{e}rivable sur un intervalle y est donc lipschitzienne si et
seulement si sa d\'{e}riv\'{e}e y est born\'{e}e.

\bigskip D25

\bigskip

E7

\bigskip

\qquad $\gamma $) Th\'{e}or\`{e}me de d\'{e}rivation du prolongement.

\bigskip

Introduction : on a vu plus haut qu'il \'{e}tait possible que $f^{\prime
}\left( x_{0}\right) $ existe et que $\underset{x\overset{\neq }{\rightarrow 
}x_{0}}{\lim }f^{\prime }\left( x\right) $ n'existe pas.

\bigskip On va voir ici que l'inverse est impossible.

\bigskip

PROP (application du TAF) :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est continue \`{a} droite en }x_{0} \\ 
f\text{ est d\'{e}rivable sur }]x_{0},x_{0}+\alpha \lbrack \text{ avec }%
\alpha >0 \\ 
\underset{x\overset{>}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f^{\prime }\left( x\right)
=l\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f$ est d\'{e}rivable \`{a} droite
en $x_{0}$ et $f_{d}^{\prime }\left( x_{0}\right) =l$}}
\end{equation*}

D26

\bigskip

Ayant une proposition similaire avec une d\'{e}riv\'{e}e \`{a} gauche, on en
d\'{e}duit le th\'{e}or\`{e}me de d\'{e}rivabilit\'{e} du prolongement :

\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est continue en }x_{0} \\ 
f\text{ est d\'{e}rivable sur }]x_{0}-\alpha ,x_{0}[\cup ]x_{0},x_{0}+\alpha
\lbrack \text{ avec }\alpha >0 \\ 
\underset{x\overset{\neq }{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f^{\prime }\left(
x\right) =l\in \mathbb{R}%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$
en $x_{0}$ et $f^{\prime }\left( x_{0}\right) =l$}}
\end{equation*}

\bigskip (le nom du th\'{e}or\`{e}me vient de ce qu'on l'applique en g\'{e}n%
\'{e}ral \`{a} une fonction $f$ qui a \'{e}t\'{e} obtenue par prolongement
par continuit\'{e} en $x_{0})$

On peut en d\'{e}duire :

\bigskip

TH dit \textquotedblright des d\'{e}rivations successives du
prolongement\textquotedblright\ :

\begin{eqnarray*}
&&\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{l}
f\text{ est continue sur un intervalle }I \\ 
f\text{ est de classe }\mathcal{C}^{p}\text{sur }I~\backslash \{x_{0}\},%
\text{ avec }p\in \overline{\mathbb{N}^{\ast }} \\ 
\forall k\in \left[ \left\vert 1,p\right\vert \right] \underset{x\overset{%
x\in I}{\rightarrow }x_{0}}{\lim }f^{\left( k\right) }\left( x\right)
=l_{k}\in \mathbb{R}%
\end{array}%
\right. $}\;\; \\
&&\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f$ est de classe $\mathcal{C}^{p}\text{sur }I$
et $f^{\left( k\right) }\left( x_{0}\right) =l_{k}$ pour $k\in \left[
\left\vert 1,p\right\vert \right] $}}
\end{eqnarray*}

D27

\bigskip

E8

\bigskip

VI) FORMULE DE TAYLOR YOUNG.

\qquad 1) Polyn\^{o}me de Taylor (Brook Taylor, 1685-1731) d'ordre $n$ d'une
fonction $n$ fois d\'{e}rivable en un point.\bigskip

Dans le cours sur les polyn\^{o}mes, on a montr\'{e} la formule de Taylor
:\bigskip\ 
\begin{equation*}
\fbox{$P=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{P^{\left( k\right) }(x_{0})%
}{k!}\left( X-x_{0}\right) ^{k}$}
\end{equation*}

pour $P$ polyn\^{o}me de degr\'{e} $\leqslant n.$

\bigskip\ On va en d\'{e}duire le

TH : \'{e}tant donn\'{e}s $n+1$ \'{e}l\'{e}ments d'un corps $K$ $%
:y_{0},y_{1},...,y_{n},$ et un \'{e}l\'{e}ment $x_{0}$ de $K,$ il existe un
unique polyn\^{o}me de degr\'{e} $\leqslant n$ : $P\in K_{n}[X]$ tel que $%
P\left( x_{0}\right) =y_{0},P^{\prime }\left( x_{0}\right)
=y_{1},...P^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) =y_{n}.$ Ce polyn\^{o}me s'%
\'{e}crit : 
\begin{equation*}
\fbox{$P=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{y_{k}}{k!}\left(
X-x_{0}\right) ^{k}=y_{0}+y_{1}\left( X-x_{0}\right) +\dfrac{y_{2}}{2}\left(
X-x_{0}\right) ^{2}+...+\dfrac{y_{n}}{n!}\left( X-x_{0}\right) ^{n}$}
\end{equation*}

D28

\bigskip

On peut donc poser la

DEF : \'{e}tant donn\'{e} une fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $%
n$ fois d\'{e}rivable en $x_{0},$ le \textit{polyn\^{o}me de Taylor }d'ordre 
$n$ de $f$ en $x_{0}$ est l'unique polyn\^{o}me $T_{\left( n,f,x_{0}\right)
} $ \`{a} coefficients r\'{e}els de degr\'{e} $\leqslant n$ ayant la m\^{e}%
me valeur et les m\^{e}mes $n$ premi\`{e}res d\'{e}riv\'{e}es en $x_{0}$ que 
$f$ en $x_{0}.$

$T_{\left( n,f,x_{0}\right) }$ est donc d\'{e}fini par : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$T_{\left( n,f,x_{0}\right) }\in \mathbb{R}_{n}[X]$ \\ \hline
$\forall k\in \lbrack \left| 0,n\right| ]\;\;T_{\left( n,f,x_{0}\right)
}^{\left( k\right) }\left( x_{0}\right) =f^{\left( k\right) }\left(
x_{0}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

Il est donn\'{e} par l'expression : 
\begin{equation*}
T_{\left( n,f,x_{0}\right) }=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{%
f^{\left( k\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}\left( X-x_{0}\right) ^{k}
\end{equation*}

La fonction polynomiale associ\'{e}e au polyn\^{o}me de Taylor d'ordre $n$
est appel\'{e}e la fonction de Taylor d'ordre $n$ de $f$ en $x_{0}.$

\bigskip

REM : le polyn\^{o}me de Taylor d'\textit{ordre} $n$ n'est pas forc\'{e}ment
de \textit{degr\'{e}} $n$ !

\bigskip

PROP, montrant qu'on peut toujours se ramener au cas $x_{0}=0$ :

si $f$ est une fonction $:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ $n$ fois d\'{e}%
rivable en $x_{0},$ soit $g$ d\'{e}finie par $g\left( u\right) =f\left(
x_{0}+u\right) ,$ alors les polyn\^{o}mes de Taylor de $f$ et $g$ sont reli%
\'{e}s par la relation : 
\begin{equation*}
\fbox{$T_{\left( n,f,x_{0}\right) }\left( X\right) =T_{\left( n,g,0\right)
}\left( X-x_{0}\right) $}
\end{equation*}

D29

\bigskip

DEF : on dit qu'un polyn\^{o}me est tronqu\'{e} \`{a} l'ordre $p$ si on
remplace tous ses coefficients de degr\'{e} $>p$ par des $0.$

\bigskip

PROP : le polyn\^{o}me de Taylor d'ordre $p$ en $0$ d'une fonction
polynomiale $f$ de degr\'{e} $n$ est le polyn\^{o}me tronqu\'{e} \`{a}
l'ordre $p$ du polyn\^{o}me $P$ associ\'{e} \`{a} $f$ ; par cons\'{e}quent $%
T_{\left( p,f,0\right) }=P$ d\`{e}s que $p\geqslant n.$

\bigskip D30

Polyn\^{o}mes de Taylor \`{a} savoir par coeur : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$T_{\left( n,\exp ,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;$ \\ \hline
$T_{\left( 2p+1,\sin ,0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 2p+2,\sin
,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$T_{\left( 2p,\cos ,0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 2p+1,\cos ,0\right)
}\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$T_{\left( 3,\tan ,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$T_{\left( 2p+1,\text{sh },0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 2p+2,\text{%
sh },0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;\ \;$ \\ \hline
$T_{\left( 2p,\text{ch },0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 2p+1,\text{ch }%
,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$f\left( x\right) =\left( 1+x\right) ^{\alpha }\;\;;\;\;T_{\left(
n,f,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
cas $\alpha =n$ : on retrouve la formule du bin\^{o}me :$%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
cas $\alpha =-1,$ $f(x)=\dfrac{1}{1+x};T_{\left( n,f,0\right) }\left(
x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
cas $\alpha =-p,p\in \mathbb{N},$ $f(x)=\dfrac{1}{\left( 1+x\right) ^{p}}%
;T_{\left( n,f,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
cas $\alpha =-\dfrac{1}{2},f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}};T_{\left( n,f,0\right)
}\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
cas $\alpha =\dfrac{1}{2},f(x)=\sqrt{1+x};T_{\left( 3,f,0\right) }\left(
x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D31

Pour les exemples suivants, nous utiliserons le lemme ci-apr\`{e}s, qui
montre que pour obtenir le polyn\^{o}me de Taylor d'une fonction, il suffit
d'int\'{e}grer le polyn\^{o}me de Taylor de sa d\'{e}riv\'{e}e, sans oublier
de mettre la bonne constante d'int\'{e}gration.

\bigskip

LEMME : 
\begin{equation*}
\fbox{$T_{\left( n,f,x_{0}\right) }^{\prime }=T_{\left( n-1,f^{\prime
},x_{0}\right) }$}
\end{equation*}

D32 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$f\left( x\right) =\ln \left( 1+x\right) ;T_{\left( n,f,0\right) }\left(
x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ \\ \hline
$T_{\left( 7,\arcsin ,0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 8,\arcsin
,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\;$ \\ \hline
$T_{\left( 2p+1,\arctan ,0\right) }\left( x\right) =T_{\left( 2p+2,\arctan
,0\right) }\left( x\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

D33

Voici par exemple le trac\'{e} des fonctions de Taylor de la fonction cos en
0 :

X = Table[Series[Cos[x], \{x, 0, 2 k + 1\}] // Normal, \{k, 0, 5\}] \ \ \ \ $%
\ $Plot[X, \{x, -5, 5\}]

\begin{equation*}
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"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
'JF7RBX00.bmp';tempfile-properties "XNPR";}}
\end{equation*}

2) Formule de Taylor-Young.

\bigskip

DEF : le\textit{\ reste de Taylor} \`{a} l'ordre $n$ de $f$ est la diff\'{e}%
rence entre $f$ et sa fonction de Taylor : 
\begin{equation*}
\forall x\in D_{f}\;\;\;f\left( x\right) =T_{\left( n,f,x_{0}\right) }\left(
x\right) +R_{\left( n,f,x_{0}\right) }\left( x\right) =\underset{k=0}{%
\overset{n}{\sum }}\dfrac{f^{\left( k\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}%
\left( x-x_{0}\right) ^{k}+R_{\left( n,f,x_{0}\right) }\left( x\right)
\end{equation*}

\bigskip

Il existe diverses \textit{formules de Taylor} (Taylor-Young,
Taylor-Lagrange, Taylor avec reste int\'{e}gral), qui sont en fait diverses
mani\`{e}res d'\'{e}valuer ce reste de Taylor ; les \textit{in\'{e}galit\'{e}%
s de Taylor} sont, quant \`{a} elles, diverses mani\`{e}res d'encadrer ce
reste, ou de majorer sa valeur absolue.

\bigskip

TH de TAYLOR-YOUNG (W.H. Young, 1862-1946) :

Si $f$ est $n$ fois d\'{e}rivable en $x_{0}$ ($n\geqslant 1)$ alors 
\begin{equation*}
\underset{x\rightarrow x_{0}}{\lim }\dfrac{R_{\left( n,f,x_{0}\right)
}\left( x\right) }{\left( x-x_{0}\right) ^{n}}=0
\end{equation*}

ce qui peut s'\'{e}crire sous les diverses formes : 
\begin{equation*}
\text{\ }R_{\left( n,f,x_{0}\right) }\left( x\right) \underset{x\rightarrow
x_{0}}{\ll }\left( x-x_{0}\right) ^{n}\text{ ,}\;f\left( x\right) =T_{\left(
n,f,x_{0}\right) }\left( x\right) +\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}\left(
\left( x-x_{0}\right) ^{n}\right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
\fbox{$f\left( x\right) =f(x_{0})+f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left(
x-x_{0}\right) +\dfrac{f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) }{2}\left(
x-x_{0}\right) ^{2}+....+\dfrac{f^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) }{n!}%
\left( x-x_{0}\right) ^{n}+\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}\left( \left(
x-x_{0}\right) ^{n}\right) $}
\end{equation*}

D34

\bigskip

La d\'{e}monstration sera faite en deux \'{e}tapes :

1) Prouver que cela revient \`{a} d\'{e}montrer que si $g$ est $n$ fois d%
\'{e}rivable en $0$ ($n\geqslant 1)$ avec $g^{(k)}\left( 0\right) =0$ pour $%
0\leqslant k\leqslant n,$ alors 
\begin{equation*}
\underset{u\rightarrow 0}{\lim }\dfrac{g\left( u\right) }{u^{n}}=0
\end{equation*}

2) D\'{e}montrer ceci par r\'{e}currence sur $n.$

\bigskip

REM : pour $n=1,$ la formule de Taylor-Young 
\begin{equation*}
f(x)=f\left( x_{0}\right) +f^{\prime }\left( x_{0}\right) \left(
x-x_{0}\right) +o\left( x-x_{0}\right)
\end{equation*}

est en fait la formule de d\'{e}finition de la d\'{e}rivabilit\'{e}.

\bigskip

CORO : si $f$ est $C^{\infty }$ en $x_{0},$ alors pour tout naturel $n$ : 
\begin{equation*}
\fbox{$f\left( x_{0}+u\right) =f(x_{0})+f^{\prime }\left( x_{0}\right) u+%
\dfrac{f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) }{2}u^{2}+....+\dfrac{f^{\left(
n\right) }\left( x_{0}\right) }{n!}u^{n}+o\left( u^{n}\right) =\underset{k=0}%
{\overset{n}{\sum }}\dfrac{f^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}%
u^{k}+$\fbox{$o\left( u^{n}\right) $}}
\end{equation*}

et donc : 
\begin{equation*}
\fbox{$f\left( x_{0}+u\right) =f(x_{0})+f^{\prime }\left( x_{0}\right) u+%
\dfrac{f^{\prime \prime }\left( x_{0}\right) }{2}u^{2}+....+\dfrac{f^{\left(
n\right) }\left( x_{0}\right) }{n!}u^{n}+O\left( u^{n+1}\right) =\underset{%
k=0}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{f^{\left( n\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}%
u^{k}+$\fbox{$O\left( u^{n+1}\right) $}}
\end{equation*}

\bigskip D35

Exemples \`{a} conna\^{\i}tre par coeur : ($u\rightarrow 0)$%
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\dfrac{1}{1-u}=\;1+u+u^{2}+....+u^{n}+o\left( u^{n}\right) \;=\;\underset{%
k=0}{\overset{n}{\sum }}u^{k}+o\left( u^{n}\right) \;;\dfrac{1}{1+u}%
=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;$ \\ \hline
$\ln \left( 1-u\right) =%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ln \left( 1+u\right) =$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\left( 1-u\right) ^{2}}=\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\dfrac{1}{%
\left( 1+u\right) ^{2}}=$ \\ \hline
$\left( 1+u\right) ^{\alpha }=1+\alpha u+\dfrac{\alpha \left( \alpha
-1\right) }{2}u^{2}+.....+\dfrac{\alpha \left( \alpha -1\right) ...\left(
\alpha -n+1\right) }{n!}u^{n}+o\left( u^{n}\right) =\underset{k=0}{\overset{n%
}{\sum }}$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\left( 1-u\right) ^{\alpha }}=1+\alpha u+\dfrac{\alpha \left(
\alpha +1\right) }{2}u^{2}+.....+$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\left( 1-u\right) ^{p+1}}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}%
\left( 
\begin{array}{c}
p+k \\ 
p%
\end{array}%
\right) u^{k}+o\left( u^{n}\right) $ (colonne $p$ du triangle de Pascal) \\ 
\hline
$\dfrac{1}{\sqrt{1-u}}=1+\dfrac{1}{2}u\;\;\;\;\;\;\;u^{2}\;\;\;\;%
\;u^{3}+....+\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }{4^{n}}u^{n}+o\left( u^{n}\right) =\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }%
}\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2k \\ 
k%
\end{array}%
\right) }{4^{k}}u^{k}+o\left( u^{n}\right) ;$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\sqrt{1+u}}=1-\dfrac{1}{2}u\;\;\;\;\;\;u^{2}\;\;\;\;u^{3}....+%
\left( -1\right) ^{...}\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }{4^{n}}u^{n}+o\left( u^{n}\right) $ = \\ \hline
$\sqrt{1-u}=1-\dfrac{1}{2}u-\;\;\;\;\;u^{2}-\;\;\;u^{3}-....-\dfrac{\left( 
\begin{array}{c}
2n \\ 
n%
\end{array}%
\right) }{4^{n}}\dfrac{u^{n}}{2n-1}+o\left( u^{n}\right) ;\sqrt{1+u}=1+%
\dfrac{1}{2}u\;\;\;\;\;\;u^{2}\;\;\;\;u^{3}-....$ \\ \hline
$e^{u}=1+u+\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{3}}{{}}+\dfrac{u^{4}}{{}}+\dfrac{u^{5}%
}{{}}+....+\dfrac{u^{n}}{n!}+o\left( u^{n}\right) \;=\;\underset{k=0}{%
\overset{n}{\sum }}$ \\ \hline
ch $u=partie\;paire\left( e^{u}\right) =1+\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{4}}{{}}%
+...+\dfrac{u^{2p}}{{}}+o\left( u^{2p}\right) ($ou $o\left( u^{2p+1}\right)
)=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
sh $u=partie\;impaire\left( e^{u}\right) =u+\dfrac{u^{3}}{{}}+\dfrac{u^{5}}{%
{}}...+\dfrac{u^{2p+1}}{{}}+o\left( u^{2p+1}\right) ($ou $o\left(
u^{2p+2}\right) )=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
$\cos u=1-\dfrac{u^{2}}{2}+\dfrac{u^{4}}{{}}-...+\left( -1\right) ^{....}%
\dfrac{u^{2p}}{{}}+o\left( u^{2p}\right) ($ou $o\left( u^{2p+1}\right) )=%
\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
$\sin u=u-\dfrac{u^{3}}{{}}+\dfrac{u^{5}}{{}}...+\left( -1\right) ^{....}%
\dfrac{u^{2p+1}}{{}}+o\left( u^{2p+1}\right) ($ou $o\left( u^{2p+2}\right) )=%
\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
$\tan u=u+\dfrac{u^{3}}{3}+\dfrac{2}{15}u^{5}+\dfrac{17}{315}u^{7}+o\left(
u^{8}\right) $ \\ \hline
th $u=u-\dfrac{u^{3}}{3}+\dfrac{2}{15}u^{5}-\dfrac{17}{315}u^{7}+o\left(
u^{8}\right) $ \\ \hline
$\dfrac{1}{1+u^{2}}=1-u^{2}+u^{4}+...+\left( -1\right) ^{....}u^{2p}+o\left(
u^{2p+1}\right) =\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
$\arctan u=%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$\dfrac{1}{1-u^{2}}=1+u^{2}+u^{4}+...+u^{2p}+o\left( u^{2p+1}\right) =%
\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}$ \\ \hline
$\arg $th $u=\left( \dfrac{1}{2}\left( \ln \left( 1+u\right) -\ln \left(
1-u\right) \right) =\right) 
\begin{tabular}{l}
\\ 
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}=1+\dfrac{u^{2}}{..}+\dfrac{..}{..}u^{4}+o\left(
u^{5}\right) $ \\ \hline
$\arcsin u=%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\;$ \\ \hline
arccos $u=%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
$\dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}=1-\dfrac{u^{2}}{..}+\dfrac{..}{..}u^{4}+o\left(
u^{5}\right) $ \\ \hline
$\arg $sh $u=$ $%
\begin{tabular}{l}
. \\ 
.%
\end{tabular}%
\ \;$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}%
\newline

\bigskip D9

VII) D\'{E}VELOPPEMENTS LIMIT\'{E}S

\bigskip

\qquad 1) D\'{e}finition, unicit\'{e}, du d\'{e}veloppement limit\'{e}
polynomial.

\bigskip LEMME : si un polyn\^{o}me \`{a} coefficients r\'{e}els $P$ de degr%
\'{e} $\leqslant n$ v\'{e}rifie $P(u)=\underset{u\overset{\neq }{\rightarrow 
}0}{o}\left( u^{n}\right) $ alors $P=0.$

D36

DEF : on dit une fonction $f$ $:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ d\'{e}%
finie au voisinage point\'{e} de $x_{0}$ (i.e. sur $]x_{0}-\alpha
,x_{0}+\alpha \lbrack \backslash \{x_{0}\})$ poss\`{e}de un d\'{e}%
veloppement limit\'{e} (polynomial) \`{a} l'ordre $n$ en $x_{0}$ s'il existe 
$n+1$ r\'{e}els $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ tels que 
\begin{equation*}
\fbox{$\underset{u\overset{\neq }{\rightarrow }0}{\lim }\dfrac{f(x_{0}+u)-%
\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}}{u^{n}}=0$}
\end{equation*}

Ceci peut encore s'\'{e}crire : 
\begin{equation*}
\fbox{$f(x_{0}+u)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}+o\left(
u^{n}\right) $}
\end{equation*}

ou bien : 
\begin{equation*}
\fbox{$f(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}\left( x-x_{0}\right)
^{k}+\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}\left( \left( x-x_{0}\right)
^{n}\right) $}
\end{equation*}

PROP (unicit\'{e} du d\'{e}veloppement limit\'{e}) : les coefficients $%
a_{0},a_{1},...,a_{n},$ s'ils existent, sont uniques. De plus, si $f$ poss%
\`{e}de un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $m$ en $x_{0}$ avec $%
m\geqslant n,$ les $n+1$ premiers coefficients de ce d\'{e}veloppement sont $%
a_{0},a_{1},...,a_{n}.$

D37

\bigskip

Vocabulaire : ces coefficients s'appellent les ''coefficients'' du d\'{e}%
veloppement limit\'{e}$,$ l'expression $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}%
a_{k}u^{k},$ sa \textit{partie r\'{e}guli\`{e}re} et la fonction polynomiale 
$f_{n}$ telle que $f_{n}(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}\left(
x-x_{0}\right) ^{k}$ est la\textit{\ fonction polynomiale approch\'{e}e \`{a}
l'ordre} $n$ de $f$ en $x_{0}.$

Si $r$ est le rang du premier $a_{k}$ non nul (s'il y en a un) , $a_{r}u^{r}$
est appel\'{e} la \textit{partie principale} du d\'{e}veloppement limit\'{e}
; c'est un \'{e}quivalent de $f(x_{0}+u)$ quant $u$ tend vers 0.

\bigskip

REM 1 : si une fonction poss\`{e}de un d\'{e}veloppement \`{a} l'ordre $n$
en $x_{0},$ elle en poss\`{e}de \`{a} tout ordre $\leqslant n,$ obtenus en
tronquant le premier.

REM 2 : poss\'{e}der un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $0$ en $%
x_{0}$ (i.e.$\exists a_{0}$ / $f(x_{0}+u)=a_{0}+o\left( 1\right) )$ signifie
''avoir une limite stricte (\'{e}gale \`{a} $a_{0})$ en $x_{0}"$ ; dans ce
cas, on posera toujours $f\left( x_{0}\right) =a_{0}$ de sorte que, dor\'{e}%
navant, la fonction $f$ sera consid\'{e}r\'{e}e comme continue en $x_{0}.$

\bigskip E9

\bigskip REM 3 : poss\'{e}der un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $%
1$ en $x_{0}$ (i.e. .$\exists a_{0},a_{1}\;/\;$ $f(x_{0}+u)=a_{0}+a_{1}u+o%
\left( u\right) )$ signifie ''\^{e}tre d\'{e}rivable en $x_{0}"$.

\bigskip Le th\'{e}or\`{e}me de Taylor-Young vu dans le chapitre pr\'{e}c%
\'{e}dent permet d'obtenir un d\'{e}veloppement limit\'{e} polynomial :

PROP : si $f$ est $n$ fois d\'{e}rivable en $x_{0}$ alors elle poss\`{e}de
un d\'{e}veloppement limit\'{e} polynomial \`{a} l'ordre $n$ en $x_{0}$ : 
\begin{equation*}
f(x_{0}+u)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}+o\left( u^{n}\right)
\;\text{avec }a_{k}=\dfrac{f^{\left( k\right) }\left( x_{0}\right) }{k!}
\end{equation*}

Exemple : si on sait \`{a} l'avance que $f$ est 5 fois d\'{e}rivable en 3 et
que $f\left( 3+u\right) $ $=5u-2u^{2}-\dfrac{1}{5}u^{5}+o\left( u^{5}\right)
,$ alors 
\begin{equation*}
f(3)=....,f^{\prime }(3)=....,f^{\prime \prime }(3)=....,f^{\prime \prime
\prime }(3)=....,f^{\left( 4\right) }(3)=....,f^{\left( 5\right) }(3)=....
\end{equation*}

\bigskip

ATTENTION : la r\'{e}ciproque est fausse d\`{e}s que $n\geqslant 2$ : une
fonction peut tr\`{e}s bien avoir un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a}
l'ordre $2$ en un point et ne pas \^{e}tre 2 fois d\'{e}rivable en ce point
(tout simplement parce que sa d\'{e}riv\'{e}e peut n'exister qu'en ce point,
et non au voisinage).

E10

\bigskip

PROP : la partie r\'{e}guli\`{e}re d'un DL en 0 d'une fonction paire est une
expression polynomiale paire, et la partie r\'{e}guli\`{e}re d'un DL en 0
d'une fonction impaire est un une expression polynomiale impaire.

D38

\bigskip

\qquad 2) Allure de la courbe au voisinage d'un point \`{a} l'aide du DL.

\bigskip

Si $f\left( x_{0}+u\right) =a+bu+cu^{2}+du^{3}+o\left( u^{3}\right) ,$ alors

\bigskip

1) on peut affirmer que $f\left( x_{0}\right) =a$ (ou prolonger $f$ en
posant $f\left( x_{0}\right) =a)$ et que $f^{\prime }\left( x_{0}\right) =b$
(mais par contre on ne peut pas affirmer directement que $f^{\prime \prime
}\left( x_{0}\right) =2c$ ni que $f^{\prime \prime \prime }\left(
x_{0}\right) =6d)$

\bigskip

2) si $c>0$ la courbe est au-dessus de la tangente, et si $c<0$ la courbe
est en-dessous de la tangente au voisinage de $\left( x_{0},f\left(
x_{0}\right) \right) ;$

\bigskip

3) si $c=0$ et $d\neq 0,$ la courbe traverse la tangente en $\left(
x_{0},f\left( x_{0}\right) \right) $ : on dit qu'il y a un point d'inflexion.

\bigskip

4) si $c=d=0,$ il faut d\'{e}terminer l'ordre du premier terme non nul 
\TEXTsymbol{>}3 : si cet ordre est pair : comme cas 2), sinon comme cas 3).

\bigskip

5) si tous les coeffs \`{a} partir de $c$ sont nuls, on dit que $f$ est
"infiniment plate" en $x_{0}.$

\bigskip

\qquad 3) Op\'{e}rations sur les d\'{e}veloppements limit\'{e}s polynomiaux.

\bigskip

La r\`{e}gle qu'il faut avoir en vue lorsqu'on fait des op\'{e}rations sur
les DL, est que 
\begin{equation*}
o\left( u^{n}\right) +o\left( u^{m}\right) =o\left( u^{\min \left(
n,m\right) }\right)
\end{equation*}

En raccourci : dans une somme, c'est le petit $o$ de plus bas degr\'{e}
\textquotedblright qui l'emporte\textquotedblright .

\qquad \qquad a) Somme de deux d\'{e}veloppements limit\'{e}s.

E11 : ch $x\,e^{2x}$ \`{a} l'ordre 4 en 0, $\sin x\cos 2x$ \`{a} l'ordre 3
en $0,\sin x$ \`{a} l'ordre 5 en $\pi /3.$

\bigskip

PROP : si 
\begin{equation*}
\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x_{0}+u)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}+o\left( u^{n}\right)
\\ 
g(x_{0}+u)=\underset{k=0}{\overset{m}{\sum }}b_{k}u^{k}+o\left( u^{m}\right)%
\end{array}
\right. $}\;\;\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\left( f+g\right) (x_{0}+u)=%
\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}\left( a_{k}+b_{k}\right) u^{k}+o\left(
u^{p}\right) \;$avec $p=\min (n,m)$}}
\end{equation*}

D39

\bigskip

MORALIT\'{E} : RIEN NE SERT DE D\'{E}VELOPPER A DES ORDRES DIFF\'{E}RENTS,
L'ORDRE DE LA SOMME SERA LE\ PLUS PETIT DES DEUX.

\bigskip

\qquad b) Produit de deux d\'{e}veloppements limit\'{e}s.

\bigskip

E12 : $\arctan x\ln \left( 1+x^{2}\right) $ \`{a} l'ordre 7 en 0.

\begin{eqnarray*}
&&\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x_{0}+u)=\underset{k=p}{\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}+o\left( u^{n}\right)
\;\;\text{avec }a_{p}\neq 0 \\ 
g(x_{0}+u)=\underset{k=q}{\overset{m}{\sum }}b_{k}u^{k}+o\left( u^{m}\right)
\;\;\text{avec }b_{q}\neq 0%
\end{array}
\right. $}\;\; \\
&&\text{alors\ \ \fbox{(C) : $\left( fg\right) (x_{0}+u)=\underset{ 
\begin{array}{c}
\text{produit des deux parties r\'{e}guli\`{e}res} \\ 
\text{ tronqu\'{e} \`{a} l'ordre }r%
\end{array}
}{\underbrace{a_{p}b_{q}u^{p+q}+...+c_{r}u^{r}}}+o\left( u^{r}\right) \;$%
avec $r=\min (q+n,p+m)$}}
\end{eqnarray*}
\newline

D13

\bigskip

MORALIT\'{E} : si on veut un d\'{e}veloppement du produit \`{a} l'ordre $r$
il faut d\'{e}velopper $f$ \`{a} l'ordre $r-($valuation du DL de $g)$ et $g$ 
\`{a} l'ordre $r-($valuation du DL de $f).$

SI DONC LES DEUX D\'{E}VELOPPEMENTS ONT UNE VALUATION NULLE, POUR AVOIR UN
ORDRE $r$ DANS LE PRODUIT, IL FAUT D\'{E}VELOPPER CHACUN A L'ORDRE $r$ (le
produit des deux polyn\^{o}mes, de degr\'{e} $\leqslant 2r,$ devra donc \^{e}%
tre tronqu\'{e} \`{a} l'ordre $r).$

E13

\bigskip

\qquad c) Compos\'{e}e de deux d\'{e}veloppements limit\'{e}s.

\bigskip E14 : $\ln \cos x,$ \`{a} l'ordre 6 en 0.

PROP (dans le cas o\`{u} le deuxi\`{e}me d\'{e}veloppement commence par un
terme en $u)$ : 
\begin{eqnarray*}
&&\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x_{0}+u)=\underset{=P\left( u\right) }{\underbrace{\underset{k=0}{\overset{%
n}{\sum }}a_{k}u^{k}}}+o\left( u^{n}\right) \;\; \\ 
\left\{ 
\begin{array}{c}
g(u)=\underset{=Q\left( u\right) }{\underbrace{\underset{k=1}{\overset{m}{%
\sum }}b_{k}u^{k}}}+o\left( u^{m}\right) \;\;\text{avec }b_{1}\neq 0 \\ 
\text{(bien noter que le DL de }g\text{ est en }0\text{ et que }b_{0}=0)%
\end{array}
\right.%
\end{array}
\right. $}\;\; \\
&&\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f(x_{0}+g(u))=\underset{P\left( Q\left(
u\right) \right) \;\text{tronqu\'{e} \`{a} l'ordre }r}{\underbrace{%
a_{0}+a_{1}b_{1}u+...+c_{r}u^{r}}}+o\left( u^{r}\right) \;$avec $r=\min
(n,m) $}}
\end{eqnarray*}

MORALIT\'{E} : dans le cas o\`{u} le DL de $g$ est de valuation $1,$ RIEN NE
SERT DE D\'{E}VELOPPER A DES ORDRES DIFF\'{E}RENTS, l'ordre du d\'{e}%
veloppement de $f(x_{0}+g(u))$ SERA LE\ PLUS PETIT DES DEUX.

D40

\bigskip

PROP : cas g\'{e}n\'{e}ral (en exercice)

\begin{eqnarray*}
&&\text{si }\fbox{(H) :$\;\left\{ 
\begin{array}{c}
f(x_{0}+u)=\underset{=P\left( u\right) }{\underbrace{a_{0}+\underset{k=p}{%
\overset{n}{\sum }}a_{k}u^{k}}}+o\left( u^{n}\right) \;\;\text{avec }%
a_{p}\neq 0,p\geqslant 1 \\ 
g(u)=\underset{=Q\left( u\right) }{\underbrace{\underset{k=q}{\overset{m}{%
\sum }}b_{k}u^{k}}}+o\left( u^{m}\right) \;\;\text{avec }b_{q}\neq 0%
\end{array}
\right. $}\;\; \\
&&\text{alors\ \ \fbox{(C) : $f(x_{0}+g(u))=\underset{P\left( Q\left(
u\right) \right) \;\text{tronqu\'{e} \`{a} l'ordre }r}{\underbrace{%
a_{0}+a_{p}\left( b_{q}\right) ^{p}u^{pq}+...+c_{r}u^{r}}}+o\left(
u^{r}\right) \;$avec $r=\min (m+q\left( p-1\right) ,qn)$}}
\end{eqnarray*}
\newline

\bigskip

MORALIT\'{E} : pour des calculs les plus \'{e}conomiques possibles, il faut
prendre $m+q\left( p-1\right) =qn=r,$ soit $m=q\left( n-p+1\right)
=r-q\left( p-1\right) .$ Si donc on veut un DL \`{a} l'ordre $r,$ il faut
prendre $n=\overline{E}\left( \dfrac{r}{q}\right) $ et $m=q\left(
n-p+1\right) $ ; lorsque $q=p=1,$ on retrouve la r\`{e}gle simple :\fbox{$%
n=m=r$}$.$

\bigskip E15

\bigskip

\qquad d) Inverse d'un d\'{e}veloppement limit\'{e}.

\bigskip

E16 
\begin{equation*}
\fbox{$\dfrac{1}{\cos x}=.$%
........................................................................(ordre 6)%
}
\end{equation*}

M\'{e}thode : si $f(x_{0}+u)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}%
a_{k}u^{k}+o\left( u^{n}\right) \;\;$avec $a_{0}\neq 0,$ on \'{e}crit 
\begin{equation*}
\dfrac{1}{f}\left( x_{0}+u\right) =\dfrac{1}{a_{0}+\underset{k=1}{\overset{n}%
{\sum }}a_{k}u^{k}+o\left( u^{n}\right) }=\dfrac{1}{a_{0}}\left( \dfrac{1}{1+%
\underset{=U}{\underbrace{\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\dfrac{a_{k}}{%
a_{0}}u^{k}+o\left( u^{n}\right) }}}\right) =\dfrac{1}{a_{0}}\dfrac{1}{1+U}
\end{equation*}

\bigskip

Le d\'{e}veloppement de $1/f$ en $x_{0}$ s'obtient donc en composant celui
de $\dfrac{1}{1+U}$ avec celui de $U.$

E17

\bigskip

\qquad e) Quotient de deux d\'{e}veloppements limit\'{e}s.

\bigskip

On \'{e}crit $\dfrac{f}{g}=f\dfrac{1}{g}$ et on utilise b) et d).

E18 : $\tan x$ en 0 \`{a} l'ordre 7.

\bigskip

En conclusion, on peut dire que si $f$ et $g$ ont des d\'{e}veloppements
limit\'{e}s polynomiaux \`{a} l'ordre $n$ en $x_{0},$ alors $f+g$ , $fg,$ $%
\dfrac{f}{g}$ (si $g\left( x_{0}\right) \neq 0)$ et $f\circ g$ (si $x_{0}=0$
et $g\left( 0\right) =0),$ \'{e}galement, au m\^{e}me ordre.

\bigskip

\qquad 3) D\'{e}veloppements limit\'{e}s g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}s.

\bigskip

DEF : soit $\left( f_{i}\right) _{i\in I}$ une famille de fonctions $\mathbb{%
R}\rightarrow \mathbb{R}$ et $x_{0}\in \overline{\mathbb{R}}$ tels que si $%
i\neq j,$ $f_{i}\underset{x_{0}}{\ll }f_{j}$ ou $f_{j}\underset{x_{0}}{\ll }%
f_{i}$ ; on dit qu'une fonction $f$ d\'{e}finie au voisinage point\'{e} de $%
x_{0}$ poss\`{e}de un d\'{e}veloppement limit\'{e} (g\'{e}n\'{e}ralis\'{e})
suivant l'\textit{\'{e}chelle} $\left( f_{i}\right) _{i\in I}$ s'il existe
des indices $i_{1},...i_{n}\in I$ tels que : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =a_{1}f_{i_{1}}\left( x\right) +a_{2}f_{i_{2}}\left(
x\right) +...+a_{n}f_{i_{n}}\left( x\right) +\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}%
\left( f_{i_{n}}\left( x\right) \right) ,\text{ avec }f_{i_{1}}\underset{%
x_{0}}{\gg }f_{i_{2}}\underset{x_{0}}{\gg }...\underset{x_{0}}{\gg }f_{i_{n}}
\end{equation*}

$a_{1}f_{i_{1}}\left( x\right) \;$est la \textit{partie principale} du DL, $%
a_{1}f_{i_{1}}\left( x\right) +a_{2}f_{i_{2}}\left( x\right)
+...+a_{n}f_{i_{n}}\left( x\right) $, sa \textit{partie r\'{e}guli\`{e}re},
et $f_{i_{n}}\left( x\right) $ sa \textit{pr\'{e}cision}.

\bigskip

REM 1\ : un d\'{e}veloppement limit\'{e} polynomial correspond donc au cas $%
x_{0}\in \mathbb{R}$ avec l'\'{e}chelle $\left( x\mapsto \left(
x-x_{0}\right) ^{k}\right) _{k\in \mathbb{N}}.$

REM 2 : on a toujours la propri\'{e}t\'{e} d'unicit\'{e} du DL, \`{a} savoir
que si%
\begin{eqnarray*}
&&f\left( x\right) \left\{ 
\begin{array}{c}
=a_{1}f_{i_{1}}\left( x\right) +a_{2}f_{i_{2}}\left( x\right)
+...+a_{n}f_{i_{n}}\left( x\right) +\underset{x\rightarrow x_{0}}{o}\left(
f_{i_{n}}\left( x\right) \right)  \\ 
=a_{1}^{\prime }f_{i_{1}}\left( x\right) +a_{2}^{\prime }f_{i_{2}}\left(
x\right) +...+a_{n}^{\prime }f_{i_{n}}\left( x\right) +\underset{%
x\rightarrow x_{0}}{o}\left( f_{i_{n}}\left( x\right) \right) 
\end{array}%
\right. ,\text{ avec }f_{i_{1}}\underset{x_{0}}{\gg }f_{i_{2}}\underset{x_{0}%
}{\gg }...\underset{x_{0}}{\gg }f_{i_{n}} \\
\text{alors }a_{1} &=&a_{1}^{\prime },....,a_{n}=a_{n}^{\prime }.
\end{eqnarray*}

Exemples classiques :

\qquad ex 1) $x_{0}=+\infty $ avec l'\'{e}chelle $\left( x\mapsto
x^{k}\right) _{k\in \mathbb{Z}}$ (on parle alors souvent de d\'{e}%
veloppement ''asymptotique'').

\bigskip

On obtient des DL de la forme : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}+\dfrac{b_{1}}{x}+...+\dfrac{%
b_{m}}{x^{m}}+\underset{x\rightarrow +\infty }{o}\left( \dfrac{1}{x^{m}}%
\right)
\end{equation*}
\newline
et bien entendu, $f\left( x\right) \underset{x\rightarrow +\infty }{\sim }%
a_{n}x^{n}$ si $a_{n}\neq 0.$

par exemple, si $f$ poss\`{e}de un DL polynomial en $0,$ $g\left( x\right)
=f\left( \dfrac{1}{x}\right) $ poss\`{e}de un DL de ce type quand $%
x\rightarrow +\infty .$

E19

$\arctan x$ en +$\infty $

\bigskip

\qquad ex 2) $x_{0}=0$ avec l'\'{e}chelle $\left( x\mapsto x^{k}\right)
_{k\in \mathbb{Z}}$

\bigskip

on obtient des DL de la forme : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\dfrac{b_{m}}{x^{m}}+...+\dfrac{b_{1}}{x}%
+a_{0}+a_{1}x...+a_{n}x^{n}+\underset{x\rightarrow 0}{o}\left( x^{n}\right)
\end{equation*}

On retrouve ici les DLP comme cas particuliers.

Par exemple, si $f$ poss\`{e}de un DL polynomial en $0,$ $g\left( x\right) =%
\dfrac{f\left( x\right) }{x^{m}}$ poss\`{e}de un DL de ce type quand $%
x\rightarrow 0.$

Dans ce cadre rentrent les trois d\'{e}veloppements \`{a} savoir retrouver
rapidement : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{6}+\dfrac{7x^{3}}{360}+\dfrac{%
31x^{5}}{15120}+\underset{x\rightarrow 0}{o}\left( x^{6}\right) $ \\ \hline
$\cot x=\dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^{3}}{45}-\dfrac{2x^{5}}{945}+%
\underset{x\rightarrow 0}{o}\left( x^{6}\right) $ \\ \hline
$\coth x=\dfrac{1}{x}+\dfrac{x}{3}-\dfrac{x^{3}}{45}+\dfrac{2x^{5}}{945}+%
\underset{x\rightarrow 0}{o}\left( x^{6}\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

E20

\bigskip

\qquad ex 3) (g\'{e}n\'{e}ralisation du 1)) $x_{0}=+\infty $ avec l'\'{e}%
chelle $\left( x\mapsto x^{\alpha }\left( \ln x\right) ^{\beta }\right)
_{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$

\bigskip

On obtient des DL du style : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =-x\left( \ln x\right) ^{2}+\dfrac{\left( \ln x\right) ^{3}%
}{x^{3}}+2x\ln x+x^{2}\sqrt{x}-\dfrac{2}{x^{2}}+3\dfrac{x^{2}}{\ln x}+x\sqrt{%
x}+\underset{x\rightarrow +\infty }{o}\left( ............\right)
\end{equation*}

(remettre les fonctions dans l'ordre et indiquer le petit o ) :

\begin{equation*}
f\left( x\right)
=..............-............-.............-............-............-........-...........+%
\underset{x\rightarrow +\infty }{o}\left( ............\right)
\end{equation*}

Exemples classiques :

\qquad \qquad - la relation $h_{n}=\ln n+\gamma +o\left( 1\right) $ vue dans
le cours sur les suites est un d\'{e}veloppement de ce type.

\qquad \qquad - la formule de Stirling $n!\sim \left( \dfrac{n}{e}\right)
^{n}\sqrt{2\pi n}$ \'{e}quivaut au d\'{e}veloppement asymptotique : 
\begin{equation*}
\fbox{$\ln \left( n!\right) =n\ln n-n+\dfrac{1}{2}\ln n+\dfrac{1}{2}\ln 2\pi
+o\left( 1\right) $}
\end{equation*}

E 21 : $\sqrt{x+1},\ln \left( x+1\right) $

\qquad ex 4) (g\'{e}n\'{e}ralisation du 2)) $x_{0}=0$ avec l'\'{e}chelle $%
\left( x\mapsto x^{\alpha }\left( \ln x\right) ^{\beta }\right) _{\alpha
,\beta \in \mathbb{R}}$

\bigskip

On obtient des DL du style : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =3\dfrac{x\sqrt{x}}{\ln x}-\dfrac{2}{x^{2}}+1+\dfrac{x^{2}%
\sqrt{x}}{\ln x}+\dfrac{\left( \ln x\right) ^{3}}{x^{3}}-x\left( \ln
x\right) ^{2}-x^{2}\sqrt{x}+\underset{x\overset{>}{\rightarrow }0}{o}\left(
..............\right)
\end{equation*}%
(remettre les fonctions dans l'ordre et indiquer le petit o ):

\begin{equation*}
f\left( x\right)
=..............-............-.............-............-............-............-...........+%
\underset{x\overset{>}{\rightarrow }0}{o}\left( ............\right)
\end{equation*}

\bigskip

Exemple \`{a} savoir retrouver E22 : 
\begin{equation*}
\fbox{$\arccos \left( 1-u\right) =\sqrt{2u}+\dfrac{1}{12}u\sqrt{2u}+\dfrac{3%
}{160}u^{2}\sqrt{2u}+o\left( u^{2}\sqrt{u}\right) $}
\end{equation*}

la m\'{e}thode la plus rapide \'{e}tant d'utiliser la relation : 
\begin{equation*}
\fbox{$\arccos \left( 1-u\right) =2\arcsin \sqrt{\dfrac{u}{2}}$}
\end{equation*}

\bigskip 4) Application \`{a} l'\'{e}tude des branches infines.

La direction asymptotique est donn\'{e}e par la partie principale $pp\left(
f\right) \left( x\right) $ du d\'{e}veloppement de $f\left( x\right) $ quand 
$x\rightarrow +\infty \;($resp. $-\infty )$

\qquad si $pp\left( f\right) \left( x\right) \gg x,$ la direction
asymptotique est verticale

\qquad si $pp\left( f\right) \left( x\right) \ll x,$ la direction
asymptotique est horizontale

\qquad si $pp\left( f\right) \left( x\right) =ax,$ la direction asymptotique
est oblique de pente $a.$

\bigskip

Pour obtenir une courbe asymptote, d\'{e}terminer un d\'{e}veloppement
asymptotique de $f\left( x\right) $ quand $x\rightarrow +\infty ($resp. $%
-\infty )$ \`{a} la pr\'{e}cision $1:$%
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\underset{=g\left( x\right) }{\underbrace{pp\left(
f\right) \left( x\right) +...+b}}+o\left( 1\right)
\end{equation*}

La courbe asymptote est alors $y=g\left( x\right) $ et la direction
asymptotique est donn\'{e}e par la partie principale, comme d\'{e}crit
ci-dessus ; si $f\left( x\right) =ax+b+o\left( 1\right) $ il y a une
(droite) asymptote.

REM : si on veut obtenir la position par rapport \`{a} l'asymptote, il
faudra chercher un terme suppl\'{e}mentaire $h\left( x\right) $ dans le d%
\'{e}veloppement ci-dessus : 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =\underset{=g\left( x\right) }{\underbrace{pp\left(
f\right) \left( x\right) +...+b}}+h(x)+o\left( h\left( x\right) \right)
\end{equation*}

On aura alors en effet $f(x)-g\left( x\right) \sim h(x),$ et la position
sera d\'{e}termin\'{e}e gr\^{a}ce au

LEMME : si deux fonctions sont \'{e}quivalentes en un point, elles ont le m%
\^{e}me signe au voisinage de ce point.

\bigskip

E23 : $f\left( x\right) =xe^{\tfrac{1}{x}},f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}+x+1}%
,g\left( x\right) =\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

REM : on obtient souvent un d\'{e}veloppement de la forme 
\begin{equation*}
f\left( x\right) =ax^{2}+bx+c+\dfrac{d}{x}+o\left( \dfrac{1}{x}\right)
\end{equation*}

Remplir alors ce tableau avec les diff\'{e}rents cas possibles : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$a\neq 0$ & 
...........................................................................................................................................................
\\ \hline
$a=0$ et $b\neq 0$ &  \\ \hline
$a=b=0$ &  \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

REM : lorsque $f$ est une fonction rationnelle, prendre comme fonction
asymptote la partie enti\`{e}re, c'est-\`{a} dire le quotient euclidien du
num\'{e}rateur par le d\'{e}nominateur (puisque la partie fractionnaire tend
vers 0 en l'infini).

E24 : $f\left( x\right) =\dfrac{x^{3}+1}{x-1}.$

\end{document}
